01. Topología de R

AXIOMAS

En este capítulo se presenta el conjunto R de forma axiomática para fijar las reglas de uso de los números reales. Se presenta en cuatro grupos:

Axioma de adición

Hay definida una suma en R de forma que x + y pertenece a R. Esta operación tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa: x + y = y + x

Asociativa: (x + y) + z = x + (y + z)

Elemento neutro: x + 0 = x

Elemento opuesto: x + (-x) = 0

Esto se expresa algebraicamente diciendo que (R, +) es un grupo conmutativo.

Axioma de multiplicación

Hay definido un producto en R de forma que x · y pertenece a R. Esta operación tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa: x · y = y · x

Asociativa: (x · y) · z = x · (y · z)

Elemento unidad: x · 1 = x

Elemento inverso: x · 1/x = 1

Distributiva: x · (y + z) = x · y + x · z

Esto se expresa algebraicamente diciendo que (R, +, ·) es un cuerpo conmutativo.

Axioma de orden

Dados dos elementos se satisface la relación x <= y con las siguientes propiedades:

x <= x

Si x <= y e y <= x , entonces x = y

Si x <= y , entonces x + z <= y + z

Si 0 <= x y 0 <= y , entonces 0 <= x · y

Esto se expresa algebraicamente diciendo que (R, +, ·, <=) es un cuerpo ordenado.

Axioma del supremo

Un conjunto se dice acotado superiormente si contiene un elemento que sea mayor o igual que otro real.

A dicho elemento se le denomina cota superior (sup).

Una cota de dicho conjunto se denomina supremo si cumple que es menor o igual que otra cota de los números reales.

Un conjunto se dice acotado inferiormente si contiene un elemento que sea menor o igual que otro real.

A dicho elemento se le denomina cota inferior (inf).

Una cota de dicho conjunto se denomina ínfimo si cumple que es mayor o igual que otra cota de los números reales.

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee supremo.

Todo conjunto no vacío y acotado inferiormente posee ínfimo.

Un conjunto se dice acotado si es acotado superior e inferiormente.

Esto se expresa algebraicamente diciendo que R es el cuerpo de los números reales.

Definiciones axiomáticas

Mínimo: min { x1, ... , xn } es el valor mínimo de los números del conjunto

Máximo: max { x1, ... , xn } es el valor máximo de los números del conjunto

Valor absoluto: | x | = max { x, -x }

Principio de Arquímedes: si x > 0 e y es un número real, existe un número entero n tal que (n - 1) · x <= y < n · x

Postulado de Cantor: dada una familia de intervalos [a, b] tal que I1 = [a1, b1] y I2 = [a2, b2] se tiene que I2 contiene a I1 o viceversa, entonces la intersección de todos los intervalos de la familia contiene al menos un punto.

INTERVALOS Y PUNTOS

Definiciones topológicas

Sean a y b dos extremos de un intervalo, x un punto y r un radio del entorno de un punto x:

Intervalo abierto: ( a, b ) = { x real, a < x < b }

Intervalo cerrado: [ a, b ] = { x real, a <= x <= b }

Intervalo semiabierto izquierda: ( a, b ] = { x real, a < x <= b }

Intervalo semiabierto derecha: [ a, b ) = { x real, a <= x < b }

Entorno abierto: N( x, r ) = ( x - r, x + r )

Entorno reducido: N*( x, r ) = N( x ) - { x }

Conjunto abierto: A = { x de A, N( x ) pertenece a A }

Conjunto cerrado: A = { x de R - A, N( x ) pertenece a R - A }

Puntos notables de un conjunto

Sean a un punto del conjunto A, r el radio de un entorno, INT la intersección y CV conjunto vacío:

Interior: ( a - r, a + r ) pertenece a A

Adherente: ( a - r, a + r ) INT A # CV

Frontera: [ ( a - r, a + r ) INT A # CV ] U [ ( a - r, a + r ) INT R - A # CV ]

Acumulación: ( a - r, a + r ) - { a } INT A # CV

Aislado: ( a - r, a + r ) INT A = { a }

Ejemplo

Determinar los puntos notables del conjunto A que contiene el intervalo abierto (1, 3) y el punto {5}.

A = { (1, 3) U {5} }

Cota inferior = 1

Cota superior = 5

Infimo = 1

Supremo = 3

Mínimo = NO

Máximo = NO

int( A ) = (1, 3)

adh( A ) = [1, 3] U {5}

acum( A ) = (1, 3)

Fr( A ) = {1, 3, 5}

Ais( A ) = {5}