02. Sucesiones

CONCEPTOS BASICOS

Una sucesión es una función de números naturales aplicados sobre números reales de tal forma que xn = f( n ) para todo n que es un número natural. Puede ser:

Acotada: si el conjunto { xn } es acotado

Monótona creciente: xn <= xn+1

Monótona decreciente: xn >= xn+1

Sucesiones convergentes

Una sucesión de números reales xn converge a un número real a si existe un n0 <= n, tal que xn pertenece a N( a ). Se llaman convergentes porque su límite es real. Es decir, si tomamos un valor x cualquiera, como tenemos ( a - r, a + r ), | x - a | < r , siendo a el límite de la sucesión y r > 0.

Proposiciones

Si una sucesión de números reales es convergente, entonces el límite es único.

Una sucesión es de Cauchy si existe n0 <= a, b tal que | xa - xb | < r.

Toda sucesión convergente es de Cauchy.

Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Toda sucesión convergente es acotada.

Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente.

Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente.

LIMITES

Propiedades de los límites

Sean xn e yn dos sucesiones convergentes a x e y respectivamente. Entonces:

lim ( xn + yn ) = x + y

lim ( a · xn ) = a · x para todo a real

lim ( xn - yn ) = x - y

lim ( xn · yn ) = x · y

Regla del Sandwich

Sean xn , yn y zn tres sucesiones. Si existe n0 <= n tal que xn <= yn <= zn , y además lim xn = lim zn = 1 , entonces yn es convergente y su límite es 1.

LIMITES INFINITOS

La existencia de sucesiones no acotadas obliga a tener en cuenta los puntos +inf (infinito) y -inf, construyendose el conjunto R = R U { +inf, -inf } denominado recta real ampliada. Estos elementos verifican que -inf < x < +inf, para todo x que sea real, es decir, son cota inferior (-inf) y superior (+inf) de toda la recta real.

Propiedades de los límites infinitos

x + (+inf) = +inf + x = +inf para todo x de R y x # -inf

x + (-inf) = -inf + x = -inf para todo x de R y x # +inf

-(+inf) = -inf

-(-inf) = +inf

x · +inf = +inf · x = +inf y x · -inf = -inf · x = -inf para todo x > 0 de R

x · +inf = +inf · x = -inf y x · -inf = -inf · x = +inf para todo x < 0 de R

(+inf)-1 = (-inf)-1 = 0

1 / 0 = +inf

Criterio de Stolz

Si xn e yn son dos sucesiones de números reales tales que:

yn es creciente y su límite es +inf

lim xn - xn-1 / yn - yn-1 = L que pertenece a R

Entonces lim xn / yn = L.

Límites superior e inferior

Sean xn una sucesión de números reales, y am = sup { xn : n >= m } y bm = inf { xn : n >= m } dos sub-sucesiones de xn. Se trata de averiguar los límites de ambas sub-sucesiones para verificar los siguientes conceptos:

Límite inferior: lim inf xn = sup { bm } = sup { inf { xn : n >= m } }

Límite superior: lim sup xn = inf { am } = inf { sup { xn : n >= m } }

Teorema: una sucesión de números reales ser  convergente si y sólo si los límites superior e inferior son reales y coinciden.

Ejemplo

Calcular el límite de la sucesión, cuando n tiende a infinito, de:

lim 1^2 + 2^2 + ... + n^2 / 2n^3 + 1

La serie 1^2 + 2^2 + ... + n^2 equivale a n · (n + 1) · (2n + 1) / 6 :

lim [ n · (n + 1) · (2n + 1) / 6 ] / 2n^3 + 1

lim 2n^3 + 3n^2 + n / 12n^3 + 6

Se divide numerador y denominador por la potencia mayor, quedando:

lim 2n^3 / 12n^3 = 2 / 12 = 1 / 6