08. Series

CONCEPTO DE SUCESION

Sucesiones

Partimos del concepto de sucesión:

a1, a2, a3, a4, ..., an

Ejemplo

Sea la sucesión 3n + 1 :

a1 = 3 · 1 + 1 = 4

a2 = 3 · 2 + 1 = 7

a3 = 3 · 3 + 1 = 10

...

Una sucesión se puede definir:

Por enumeración.

Por su término an .

Por recurrencia.

Las sucesiones pueden ser:

Monótona creciente:   an >= an-1

Monótona decreciente:   an <= an-1

Estrictamente creciente:   an > an-1

Estrictamente decreciente:   an < an-1

Constante:   an = an-1

Sucesión convergente

Cuando n tiende hacia infinito:

lim an = r0

SERIES

Concepto

Una serie se define por las sumas parciales de cada uno de sus términos:

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

...

sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

O también de la siguiente forma:

Sn = Sumatorio desde i = 1 hasta inf de ai = Sumatorio desde n = 1 hasta inf de an

donde an es el término general de la serie. Una serie es convergente cuando lo es la sucesión de sus sumas parciales:

lim n -> inf  Sn = S   (suma de la serie)

Tipos de series

Aritmética

an = an-1 + d     (d = diferencia)

Sn = (a1 + an / 2) · n

Geométrica

an = an-1 · r

Sn = a1 · r^n - a1 / r - 1   =>   si r < 1   =>   Sn = a1 / 1 - r

Armónica

an = 1 / n^k

Si k > 1 entonces converge

Si k <= 1 entonces diverge

De términos

Positivos: si an > 0 para todo n

Negativos: si an < 0 para todo n

Alternada

Sumatorio desde 1 hasta n de (-1)^n · an

Sumatorio desde 1 hasta n de (-1)^n+1 · an

Ejemplo

Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + ...   es divergente porque Sumatorio de an = inf

Sn = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...   es convergente porque Sumatorio de an = 1

Propiedad

Si Sumatorio desde 1 hasta inf de an y Sumatorio desde 1 hasta inf de bn son convergentes, entonces m · Sumatorio desde 1 hasta inf de an + n · Sumatorio desde 1 hasta inf de bn es convergente.

Criterio de Cauchy

Sea la serie:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + ap + ap+1 + ap+2 + ... + aq + aq+1 + ... + an

con q > p, y sea un e > 0 tan pequeño como se quiera, tal que:

| ap + ap+1 + ap+2 + ... + aq | < e

Condición del término n-ésimo

La condición necesaria, pero no suficiente, para que una serie sea convergente es que:

lim an = 0

Ejemplo

Estudiar la convergencia de Sumatorio de 1 / n:

lim n -> inf 1 / n = 0

Basta elegir e > 1/2 para demostrar que la serie es convergente

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Criterio de comparación

De Gauss o primera especie

Sean las series:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an0 + an0+1 + an0+2 + ... + an

Yn = b1 + b2 + b3 + ... + bn0 + bn0+1 + bn0+2 + ... + bn

a partir de n0 <= n, y siendo an < bn, tenemos que:

Si Yn converge, entonces Sn converge

Si Sn diverge, entonces Yn diverge

De segunda especie

Para lim an / bn = k, con k # 0 y k # inf, tenemos que:

Sn es convergente si y sólo si Yn es convergente

Sn es divergente si y sólo si Yn es divergente

Para lim an / bn = 0, tenemos que:

Si Yn es convergente, entonces Sn es convergente

Para lim an / bn = inf, tenemos que:

Si Yn es divergente, entonces Sn es divergente

Ejemplo

El Sumatorio de 1 / n! es convergente:

Sumatorio 1 / n! = 1 / 1 + 1 / 1·2 + 1 / 1·2·3 + 1 / 1·2·3·4 + ...

Se compara con la serie geométrica y convergente, con r = 1 / 2, Sumatorio de 1 / 2^n:

Sumatorio 1 / 2^n = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + ...

Criterio de la raíz o de Cauchy

Sea la serie Sn = Sumatorio desde 1 hasta inf de an, y sea el límite, cuando n tiende hacia infinito, de Raíz-n( an ) = k, entonces tenemos que:

Si k < 1, entonces Sn es convergente

Si k = 1, entonces Sn es dudosa

Si k > 1, entonces Sn es divergente

Ejemplo

Para la serie Sumatorio desde 1 hacia inf de 3^n · n:

lim n -> inf Raíz-n( 3^n · n ) = 3 · Raíz-n( n ) = 3 > 1   es divergente

Criterio del cociente o de D'Alambert

Sea la serie Sn = Sumatorio desde 1 hacia inf de an, y sea el límite, cuando n tiende hacia infinito, de an+1 / an = k, entonces tenemos que:

Si k < 1, entonces Sn es convergente

Si k = 1, entonces Sn es dudosa

Si k > 1, entonces Sn es divergente

Ejemplo

Para la serie Sumatorio de 2^n / n:

lim n -> inf (2^n+1 / n + 1) / (2^n / n) = lim n -> inf 2 · n / n + 1 = 2 > 1   es divergente

Criterio de Raabe

Sea la serie Sn = Sumatorio desde 1 hacia inf de an, y sea el límite, cuando n tiende hacia infinito, de n · [1 - (an+1 / an)] = k, entonces tenemos que:

Si k < 1, entonces Sn es divergente

Si k = 1, entonces Sn es dudosa

Si k > 1, entonces Sn es convergente

Criterio de convergencia para series alternadas

Si Sumatorio desde 1 hacia inf de an es una serie convergente, Sumatorio de (-1)^n de an es convergente.

Si Sumatorio de (-1)^n de an es una serie alternada y {an} es una sucesión monótona decreciente con límite cero, entonces la serie alternada converge.

Convergencia absoluta

Decimos que una serie de términos cualesquiera es absolutamente convergente cuando lo es la serie:

Sumatorio de | an |

Decimos que es condicionalmente convergente si la serie es convergente sin serlo.