03. Límites de funciones

FUNCIONES

Conceptos preliminares

Función real de variable real

Una función es una correspondencia que asocia un elemento de un conjunto a cada elemento de otro conjunto dado. Se denota por f(x) y es una aplicación de números reales A sobre números reales R. Es decir, f es una regla que asigna a cada uno de ciertos números de un conjunto de números reales, otro número real:

f : A -> B   ||   f( x ) = y   ||   x pertenece a A   ||   y pertenece a B   ||   A y B pertenecen a R

Composición de funciones

Sean tres conjuntos A, B y C, y los elementos x de A, y de B y z de C, y ademas tenemos dos funciones: f( x ) = y y g( y ) = z, entonces la composición de funciones será:

g o f ( x ) = z

Función inversa

Si y = f( x ) es una función, su función inversa es:

x = f^-1 ( y )

Límite de una función

Se dice que el límite de una función f(x) es un punto b cuando x se aproxima a otro punto a.

lim x -> a f(x) = b

Es decir, si para cada entorno N( b ) existe un entorno N( a ) tal que f(x) pertenezca a N( b ) para todo x que pertenezca a N*( a ) y al conjunto A.

Límites laterales

Una función f(x) tiene límite y éste es único si y sólo si existen sus límites laterales. Es decir, tomando un punto a hacia donde se aproxima x, dividimos el conjunto A en dos partes: una se aproxima por la izquierda a- (semirecta negativa Ai) del punto y la otra por la derecha a+ (semirecta positiva Ad), de tal forma que si los límites de ambas son iguales a otro punto b, entonces la función f(x) tiene como límite b.

lim x -> a- f(x) = b

lim x -> a+ f(x) = b

Es decir, tomamos un intervalo que dado un punto a, tomamos un entorno de radio d , de tal manera que su límite sea un entorno en el límite b con radio e:

lim f (a - d, a + d) = (b - e, b + e)   =>   lim f ( a ) = b

PROPIEDADES

Propiedades aritméticas de los límites

Sean lim x -> a f(x) = b y lim x -> a g(x) = c , entonces:

lim x -> a (f + g) (x) = b + c

lim x -> a (f - g) (x) = b - c

lim x -> a (f ú g) (x) = b · c

lim x-> a (f / g) (x) = b / c

Límites generales

lim f(x)              Tipo de función                                                       n par                               n impar

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x -> a          anx^n + ... + a1x + a0                              f(a)                         f(a)

x -> +inf      anx^n + ... + a1x + a0                              +inf                        -inf

x -> +inf      x^n                                                         +inf                        +inf

x -> -inf       x^n                                                         (-1)^n·inf                (-1)^n·inf

x -> a+        1 / (x - a)^n                                            +inf                         +inf

x -> a-         1 / (x - a)^n                                            +inf                         +inf

x -> +inf      x^n(an+an-1/x+...+a1/x^n-1+a0/x^n)                   +inf                         -inf

x -> -inf       x^n(an+an-1/x+...+a1/x^n-1+a0/x^n)                   -inf                         +inf

x -> a          anx^n+...+a1x+a0 / bmx^m+b1x+b0          f(a) / g(a)                f(a) / g(a)

x -> +inf      anx^n+...+a1x+a0 / bmx^m+b1x+b0          an / bm                   an / bm                  n = m

x -> -inf       anx^n+...+a1x+a0 / bmx^m+b1x+b0          an / bm                   an / bm                  n = m

x -> +inf      anx^n+...+a1x+a0 / bmx^m+b1x+b0          (+inf)·an/bm            (+inf)·an/bm           n > m

x -> -inf       anx^n+...+a1x+a0 / bmx^m+b1x+b0          (-inf)^n-m·an/bm      (-inf)^n-m·an/bm     n > m

x -> +inf      anx^n+...+a1x+a0 / bmx^m+b1x+b0          0                            0                           n < m

x - > -inf      anx^n+...+a1x+a0 / bmx^m+b1x+b0          0                            0                           n < m

Indeterminaciones

Nos podemos encontrar con las siguientes indeterminaciones:

0 / 0

inf / inf

0 / inf

0 · inf

inf · inf

1^inf

0^0

inf^0

Las indeterminaciones que tendremos que resolver son:

lim x -> 0 P(x) / Q(x) = [lim x -> 0 P(x)   y   lim x -> 0 Q(x)] = lim [P(x) / x^k] / [Q(x) / x^k]

lim x -> inf P(x) / Q(x) = [lim x -> inf P(x)   y   lim x -> inf Q(x)] = lim [P(x) / x^n] / [Q(x) / x^n]

siendo P(x) y Q(x) polinomios, x^k la potencia menor y x^n la potencia mayor.

Infinitésimos

Una función f(x) se dice infinitésimo en un punto x = a, si cuando x tiende hacia a:

lim f(x) = 0

Si f(x) y g(x) son infinitésimos en x = a, se dicen infinitésimos equivalentes, si cuando x tiende hacia a:

lim f(x) / g(x) = 1

Tabla de infinitésimos

sen x = x

tg x = x

1 - cos x = x^2 / 2

e^x - 1 = x

log (1 + x) = x

Ejemplo

Calcular el límite de la función f(x) en el punto 1:

f(x) = x^4 - x^3 / 5x^5 - 5x^2

lim f(x) = 1 - 1 / 5 - 5 = 0 / 0

Se divide por Ruffini por (x - 1):

lim x^3 / 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 = 1 / 15