07. La integral de Riemann

CONCEPTO DE INTEGRAL

La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas figuras (círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos conocer el área definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].

Partición

Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.

Ejemplo

Partición en cuatro subintervalos

a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b

mi = mínimo de f en el intervalo i

Mi = máximo de f en el intervalo i

s = m1 · (t1 - t0) + m2 · (t2 - t1) + m3 · (t3 - t2) + m4 · (t4 - t3)

S = M1 · (t1 - t0) + M2 · (t2 - t1) + M3 · (t3 - t2) + M4 · (t4 - t3)

Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición de [a, b]:

mi = inf { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

Mi = sup { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

Valor de una integral

La suma superior de f para P es U( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de Mi · ( ti - ti-1 )

La suma inferior de f para P es L( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de mi · ( ti - ti-1 )

Se cumple que:

L( f, P ) <= U( f, P )

Si aumentamos los puntos de la partición, es decir:

P = partición de n puntos   ||   Q = partición de k puntos   ||   k > n

L( f, P ) <= L( f, Q )   ||   U( f, P ) >= U( f, Q )

Al incrementar sucesivamente los puntos de la partición:

L1 <= L2 <= L3 <= L4 <= ... <= Ln <= A <= Un <= ... <= U4 <= U3 <= U2 <= U1

FUNCIONES INTEGRABLES

Definición

Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:

sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de [a, b] }

En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por:              

   ab f     donde   L( f, P ) <=     ab f <= U( f, P )     para todas las particiones de [a, b]

Teorema

Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:

U( f, P ) - L( f, P ) < e

Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es continua en [a, b] salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en [a, b], entonces es integrable.

Propiedades

    ab ( m · f(x) + n · g(x) ) · dx = m ·  ab  f(x) · dx + n ·  ab  g(x) · dx

Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b] entonces    ab g(x) · dx <=  ab  f(x) · dx

   ab  f(x) · dx = ab f(x) · dx + ab f(x) · dx

INTEGRAL INDEFINIDA

Si f es una función integrable en [a, b], llamamos integral indefinida de f, a la función:

F(x) =   ax f · dx     para todo x que pertenece a [a, b]

Si f es una función acotada e integrable en [a, b], F(x) es continua en [a, b].

Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b], entonces la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este teorema nos permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la función bajo el signo integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos dé como resultado el integrando de la integral:

     f(x) · dx = F(x) + C     =>     ( F(x) + C )' = f(x)

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Regla de Barrow

   ax  f(x) · dx = F(x) - F(a)

   ab  f(x) · dx = F(b) - F(a)

f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.

Ejemplo

Calcular la integral de (x^3 - 2)^2 · x^2 · dx :

     (x^3 - 2)^2 = (x^6 + 4 - 4x^3) · x^2 · dx =   x^8 - 4x^5 + 4x^2 · dx

F(x) = x^9 / 9 - 4x^6 / 6 + 4x^3 / 3 + K