05. Funciones derivables

DERIVABILIDAD

Definición

Una función f(x) definida en un entorno del punto x = a se dice derivable en x = a, si existe el límite, cuando h tiende a 0:

lim f(a + h) - f(a) / h = lim f(x) - f(a) / x - a

El valor de este límite se designa por f '(a) y recibe el nombre de derivada en f(x) en x = a. Si f(x) es derivable en todos los puntos del entorno, diremos que es derivable.

Interpretación geométrica

El valor de la derivada en un punto coincide con el de la tangente trigonométrica de la tangente geométrica en ese punto. La ecuación de la tangente geométrica es pues:

y - f(a) = f '(a) · (x - a)

Derivadas laterales

La derivada de una función por la izquierda es, cuando h tiende a 0:

f '(a-) = lim f(a + h) - f(a) / h

La derivada de una función por la derecha es, cuando h tiende a 0:

f '(a+) = lim f(a + h) - f(a) / h

Si una función es derivable en a, entonces es continua en a.

DERIVACION

Reglas de derivación

Si f(x) y g(x) son derivables en x = a :

[ f(a) + g(a) ] ' = f '(a) + g '(a)

[ f(a) · g(a) ] ' = f '(a) · g(a) + f(a) · g '(a)

[ f(a) / g(a) ] ' = f '(a) · g(a) - f(a) · g '(a) / [g(a)]^2

(f o g) ' (a) = f '[ g(a) ] · g '(a)   Regla de la cadena

Derivadas de funciones elementales

F U N C I O N   f(x)                                                               D E R I V A D A   f '(x)

=====================================================================

x^n                                                                   n · x^n-1

e^x                                                                   e^x

a^x                                                                   a^x · Ln a

Ln x                                                                  1 / x

loga x                                                                1 / x · Ln a

sen x                                                                 cos x

cos x                                                                 - sen x

tg x                                                                    1 / cos^2 x

arc sen x                                                           1 / Raíz(1 - x^2)

arc cos x                                                           -1 / Raíz(1 - x^2)

arc tg x                                                             1 / 1 + x^2

arc sec x                                                           1 / x · Raíz(x^2 - 1)

arc cosec x                                                        -1 / x · Raíz(x^2 - 1)

arc cotg x                                                          -1 / 1 + x^2

sh x                                                                   ch x     =>   ch x = e^x + e^-x / 2

ch x                                                                   sh x     =>   sh x = e^x - e^-x / 2

th x                                                                   1 / ch^2 x

arg sh x                                                             1 / Raíz(x^2 + 1)

arg ch x                                                             1 / Raíz(x^2 - 1)

arg th x                                                              1 / 1 - x^2

TEOREMAS

Fórmula de Leibnitz

Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables indefinidas veces:

(f · g) ' (x) = Sumatorio desde k = 0 hasta n de C(n, k) · f^k (x) · g^n-k (x)

donde f^0 = f   y   g^0 =g.

Teorema de Rolle

Sea una función continua en un intervalo [a, b] derivable en un intervalo (a, b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto intermedio c donde a < c < b tal que:

f '(c) = 0

Este teorema es una consecuencia del Teorema de Weierstrass.

Teorema del valor medio

O también, fórmula de los incrementos finitos. Si f(x) es una función continua en un intervalo [a, b] y derivable en un intervalo (a, b), entonces existe al menos un punto c que pertenece a (a, b) tal que:

f '(c) = f(b) - f(a) / b - a

Si f '(c) = 0 para todo c que pertenece a (a, b), entonces la función es constante en [a, b].

Si f(x) y g(x) son dos funciones definidas en un mismo intervalo, y f '(x) = g '(x) en todo el intervalo, entonces f = g + k, siendo k una constante.

Teorema de Cauchy

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un c perteneciente a (a, b) tal que:

[ f(b) - f(a) ] · g '(c) = [ g(b) - g(a) ] · f '(c)

Si además, g(b) = g(a) # 0   y   g '(c) # 0, entonces la ecuación anterior se puede expresar como:

f(b) - f(a) / g(b) - g(a) = f '(c) / g '(c)

Regla de L'Hopital

Cuando x tiende hacia a:

Si el lim f(x) = 0 y el lim g(x) = 0, entonces lim f(x) / g(x) = lim f '(x) / g '(x) y sirve para resolver indeterminaciones del tipo 0 / 0.

Si el lim f(x) = inf y el lim g(x) = inf, entonces lim f(x) / g(x) = lim f '(x) / g '(x) y sirve para resolver indeterminaciones del tipo inf / inf.

Las indeterminaciones de la forma 0 · inf se transforman a la forma 0 / 0.

Si el lim f(x) = 1 y el lim g(x) = inf, entonces lim [ f(x) ]^g(x) = e^Ln [ lim (f(x))^g(x) ] = e^lim [ g(x) · Ln f(x) ] = e^0 · inf y se vuelve a la indeterminación anterior.

Representación gráfica

Si y' > 0, entonces la función es creciente.

Si y' < 0, entonces la función es decreciente.

Si y' = 0 e y" > 0, entonces existe un mínimo.

Si y' = 0 e y" < 0, entonces existe un máximo.

Si y" = 0, entonces existe un punto de inflexión.

Si y" = 0 e y"' > 0, entonces la función es cóncava.

Si y" = 0 e y"' < 0, entonces la función es convexa.

Ejemplo

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) en el punto x = 0:

| x | = x   si x >= 0

| x | = -x   si x < 0

La derivada por la izquierda y por la derecha será, cuando h tiende a 0:

lim f(0 + h) - f(0) / h = lim | 0 + h | - | 0 | / h = lim -h / h = -1

lim f(0 + h) - f(0) / h = lim | 0 + h | - | 0 | / h = lim h / h = 1

Luego, como no coinciden los límites laterales, la función NO es derivable en x = 0. Su dominio es R - {0}.