04. Funciones continuas

CONTINUIDAD

Una función es continua en un punto a, si para cada número real e > 0 tan pequeño como queramos existe otro número d > 0, tal que | f(x) - f(a) | < e, para todo x, tal que | x - a | < d. Recordando la definición de límite de una función en un punto, una función es continua en x = a, si:

lim x -> a f(x) = f(a)

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a si se cumplen las siguientes condiciones:

Que exista f(a)

Que exista el límite de f(x) por la izquierda y por la derecha cuando x tiende a a

Que f(a) coincida con el límite de f(x) cuando x tiende a a

Si un conjunto está constituido por puntos aislados se puede considerar que toda función definida en cada uno de dichos puntos es continua, aunque la función no sea continua en su totalidad.

Ejemplo

La función f(x) = 1 / x - 1 no es continua cuando x = 1

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Evitable

Cuando el valor del límite no coincide con el de la función:

lim x -> a+ f(x) = lim x -> a- f(x) = b

f(a) # b

De 1ª especie

Cuando los límites laterales no coinciden:

lim x -> a+ f(x) = b1

lim x -> a- f(x) = b2

De 2ª especie

Cuando no existe un límite lateral o ambos, o la función no está definida en x = a :

lim x -> a f(x) = no existe

Propiedades

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x = a :

f + g es continua en a

f · g es continua en a

| f | es continua en a

Si g(a) # 0, entonces f / g es continua en a

Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces f o g es continua en a

Si f es continua en a, f está acotada en un entorno de a

Continuidad lateral

Una función es continua por la derecha si:

lim x -> a+ f(x) = f(a)

Una función es continua por la izquierda si:

lim x -> a- f(x) = f(a)

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos del mismo. Si el intervalo es [a, b], la función deberá ser continua:

  • en el intervalo (a, b)

  • a la derecha del punto a

  • a la izquierda del punto b

TEOREMAS FUNDAMENTALES

Teorema de Bolzano

Sea f continua en un intervalo [a, b] tal que f(a) > 0 > f(b). Entonces existe al menos un c que pertenece al intervalo tal que:

f(c) = 0

Teorema de los valores intermedios

Sea f una función continua en [a, b]. Entonces f toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b). O bien si z es tal que f(a) < z < f(b) o f(b) < z < f(a), existe un c que pertenece al intervalo (a, b) tal que:

f(c) = z

Teorema de Weierstrass

Si f es continua en [a, b], entonces f alcanza su máximo y mínimo en dicho intervalo, es decir, existen x1 y x2 pertenecientes al intervalo [a, b] tal que:

f(x1) >= f(x)

f(x2) <= f(x)

para todo x perteneciente al intervalo [a, b].

Ejemplo

Dominio y continuidad de f(x) en el punto 1:

f(x) = x   si 0 <= x <= 1

f(x) = 1 + x   si 1 < x <= 2

lim x -> 1- f(x) = 1

lim x -> 1+ f(x) = 2

Por lo tanto, NO es continua. Su dominio es:

D = [0, 1) U (1, 2]