06. Fórmula de Taylor

DEFINICION

Concepto básico

Se trata de estudiar localmente las funciones con derivadas de orden n mediante aproximaciones polinómicas:

función f con f ', f ", f "', ..., f^n que existen en el intervalo [ x0 , x ]

Entonces:

f(x) = f(x0) + f '(x0) · (x - x0) + f"(x0) / 2! · (x - x0)^2 + f"'(x0) / 3! · (x - x0)^3 + ... + f^n(x) / n! · (x - x0)^n + R(x)

donde R(x) es el resto, que tiene varias fórmulas que reducen la expresión:

Fórmula de Cauchy

R(x) = [ f^n+1 (e) / (n + 1)! ] · (x - e)^n · (x - x0)     para un e que pertenece al intervalo ( x0 , x )

Fórmula de Lagrange

R(x) = [ f^n+1 (e) / (n + 1)! ] · (x - x0)^n+1     para un e que pertenece al intervalo ( x0 , x )

Desarrollo de MacLaurin

Se tiene la misma expresión que en la fórmula de Taylor, pero teniendo que:

x0 = 0

Aplicaciones

La fórmula de Taylor tiene dos importantes aplicaciones:

Al cálculo aproximado: donde Rn es menor que el error que se admita.

Al cálculo de límites.

REPRESENTACION CARTESIANA

Se estudiarán los siguientes puntos:

Campo de existencia

Funciones racionales (raíces del denominador)

Funciones irracionales

Funciones logarítmicas

Funciones exponenciales

Simetrías

Se representa el símbolo || para expresar "simétrico con":

Respecto al origen:   x || -x   e   y || -y

Respecto al eje de abscisas:   x || -x

Respecto al eje de ordenadas:   y || -y

Respecto a una recta oblícua:   x || y   e   y || x

Puntos de corte con los ejes

Con el eje de abscisas:   y = 0   tal que el punto sea (x, 0)

Con el eje de ordenadas:   x = 0   tal que el punto sea (0, y)

Asíntotas

Horizontales: cuando x tiende a infinito,   y = lim f(x) = b

Verticales: cuando y tiende a infinito,   x = lim y = a

Oblícuas: cuando x tiende a infinito,   y = mx + n   donde   m = lim f(x) / x   y   n = lim (y - mx)

Parabólicas: cuando x tiende a infinito,   y = inf

Cortes con las asíntotas

y = f(x)

y = mx + n

Se resuelve el sistema f(x) = mx + n

Crecimiento y decrecimiento

Si f ' (x) > 0, entonces la función es creciente

Si f ' (x) < 0, entonces la función es decreciente

Máximos y mínimos

Si f ' = 0, entonces:

Si f " (0) > 0, entonces la función tiene un mínimo

Si f " (0) < 0, entonces la función tiene un máximo

Concavidad y convexidad

Los puntos que determinan la concavidad o convexidad de una función, se llaman puntos de inflexión:

Si f " (x) > 0, entonces la función es cóncava

Si f " (x) < 0, entonces la función es convexa

Ejemplo

Estudio local de la función f(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 1 :

Se averiguan las dos primeras derivadas de la función:

f ' (x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x

f " (x) = 12x^2 + 6x - 6

Se iguala la segunda derivada a cero y se averiguan las soluciones de la ecuación:

x = 1 / 2

x = -1

Como hay dos puntos de inflexión, se tendrán tres intervalos abiertos:

(-inf, -1)   al ser mayor de 0, la función es convexa

(-1, 1 / 2)   al ser menor de 0, la función es cóncava

(1 / 2, +inf)   al ser mayor de 0, la función es convexa

Por lo tanto los puntos de inflexión son:   { -1, 1 / 2 }