CONCEPTOS BASICOS
Se llama matriz a una forma reticular compuesta de filas (m) y columnas (n), donde cada elemento lleva asociado un doble índice, el primero (i = 1, 2, ..., m) para indicar la fila y el segundo (j = 1, 2, ..., n) para indicar la columna. El orden de una matriz (m x n) expresa las filas y columnas que componen la matriz. Se designa como Amxn o como un conjunto de sus elementos (aij):
| a11 a12 ... a1n |
| a21 a22 ... a2n |
| ... ... ... ... |
| am1 am2 ... amn |
TIPOS DE MATRICES
Las matrices se clasifican según la disposición de sus elementos. Pueden ser:
Rectangular
Es aquella que el número de filas es distinto al número de columnas (m # n).
| a a a |
| a a a |
Cuadrada
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas (m = n).
| a a a |
| a a a |
| a a a |
Fila
Es aquella que contiene solamente una fila (1 x n).
| a a a |
Columna
Es aquella que contiene solamente una columna (m x 1).
| a |
| a |
| a |
Triangular superior
Es aquella que tiene todos los elementos por debajo de la diagonal principal igual a cero (i > j => aij = 0).
| a a a |
| 0 a a |
| 0 0 a |
Triangular inferior
Es aquella que tiene todos los elementos por encima de la diagonal principal igual a cero (i < j => aij = 0).
| a 0 0 |
| a a 0 |
| a a a |
Opuesta
Es aquella que tiene todos los elementos cambiados de signo con respecto a la matriz original (aij = -aij).
| -a -a -a |
| -a -a -a |
| -a -a -a |
Transpuesta (At)
Es aquella que resulta de cambiar las filas por las columnas (aij = aji).
| a11 a21 a31 |
| a12 a22 a32 |
| a13 a23 a33 |
Nula
Es aquella que tiene todos sus elementos igual a cero (i, j => aij = 0).
| 0 0 0 |
| 0 0 0 |
| 0 0 0 |
Diagonal
Es aquella que tiene todos sus elementos igual a cero excepto en la diagonal principal (i # j => aij = 0).
| a 0 0 |
| 0 b 0 |
| 0 0 c |
Escalar
Es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales (i # j => aij = 0 || i = j => aij = k).
| k 0 0 |
| 0 k 0 |
| 0 0 k |
Unidad
Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal igual a 1 (i # j => aij = 0 || i = j => aij = 1).
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
Simétrica
Es una matriz transpuesta excepto en los elementos de la diagonal principal (i # j => aij = aji || i = j => aij = x).
| x a21 a31 |
| a12 x a32 |
| a13 a23 x |
Antisimétrica o hemisimétrica
Es una matriz simétrica con los elementos simétricos opuestos y con los elementos de la diagonal principal igual a cero (i # j => aij = -aji || i = j => aij = 0).
| 0 -a21 -a31 |
| -a12 0 -a32 |
| -a13 -a23 0 |
Comprobar el tipo de una matriz
Dada la matriz siguiente, averiguar de qué tipo se trata:
| 0 1 2 |
| -1 0 6 |
| -2 -6 0 |
La matriz es antisimétrica
OPERACIONES CON MATRICES
Suma de matrices
La suma de dos matrices es otra matriz que resulta de sumar los elementos que correspondan a la misma fila y a la misma columna. Ambas matrices deben de ser del mismo orden:
A + B = C => (m x n) + (m x n)
cij = aij + bij
Producto de una matriz por un escalar
El producto de una matriz por un escalar es otra matriz que resulta de multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la matriz:
A · k = A'
aij' = aij · k
Producto de matrices
El producto de dos matrices es otra matriz que tiene de orden el número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda, por lo que no es conmutativo. La condición para hacer el producto de matrices es que el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. Es decir:
A x B = C => (m x n) · (n x p)
cij = Sumatorio de k (1 ... n) en aik · bkj
Multiplicar dos matrices
Dadas las siguientes matrices, hallar el producto A · B:
| 2 3 -2 | | -2 3 -1 |
A = | -1 0 -3 | B = | 4 2 1 |
| 4 5 2 | | 5 -2 4 |
| 2 · -2 + 3 · 4 + -2 · 5 2 · 3 + 3 · 2 + -2 · -2 2 · -1 + 3 · 1 + -2 · 4 |
A · B = | -1 · -2 + 0 · 4 + -3 · 5 -1 · 3 + 0 · 2 + -3 · -2 -1 · -1 + 0 · -1 + -3 · 4 |
| 4 · -2 + 5 · 4 + 2 · 5 4 · 3 + 5 · 2 + 2 · -2 4 · -1 + 5 · 1 + 2 · 4 |
| -2 16 -7 |
A · B = | -13 3 -11 |
| 22 18 9 |