PRODUCTO ESCALAR
Definición
Sean dos vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) de dos espacios vectoriales U y V. El producto escalar es una aplicación de dos espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales y queda definido por:
u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3
El producto escalar verifica las siguientes propiedades:
u · u >= 0
u · v = v · u
(a · u) · v = a · (u · v)
u · (v + w) = u · v + u · w
Espacio euclídeo
Es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Otras definiciones relacionadas con el espacio euclídeo son:
Norma de un vector
Es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo:
|| u || = Raíz( u · u )
Módulo de un vector
Es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes de un vector:
| u | = Raíz( x1^2 + x2^2 + x3^2 )
Producto escalar
Tras lo ya visto, el producto escalar queda definido de la siguiente forma:
u · v = | u | · | v | · cos( u, v )
En E2 y E3 (espacios de dimensión 2 y 3), la norma de un vector coincide con su módulo. Se verifica que:
Desigualdad triangular: | u + v | <= | u | + | v |
Desigualdad de Schwartz: | u · v | <= | u | · | v |
Ortogonalidad y ortonormalidad
Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero:
u T v <=> u · v = 0
Dos vectores son ortonormales cuando son ortogonales y cada uno de sus módulos vale uno:
u N v <=> (u T v) y | u | = | v | = 1
Una base vectorial {e1, e2, ..., en}, con i, j = 1, 2, ..., n se dice que es:
Ortogonal: si ei T ej para i # j
Ortonormal: si es ortogonal y | ei | = 1
El vector unitario se obtiene dividiendo cada coordenada por el módulo del vector:
( u1 / | u | , u2 / | u | , u3 / | u | ) donde u = (u1, u2, u3)
Una referencia ortonormal es de dirección positiva si:
| u1 u2 u3 |
| v1 v2 v3 | > 0 donde R = {0, u, v, w}
| w1 w2 w3 |
PRODUCTO VECTORIAL
Definición
Es una aplicación del producto de los cuerpos de los reales sobre el mismo cuerpo y queda definida por:
u x v = | u | · | v | · sen( u, v )
El producto vectorial verifica las siguientes propiedades:
u x v es perpendicular a ambos vectores
Si {u, v, u x v} es libre, entonces es de orientación positiva
u x u = 0
(a · u) x v = a · (u x v) = u x (a · v)
Si v = a · u entonces u x v = 0
u x (v + w) = (u x v) + (u x w)
Si una recta viene expresada como intersección de dos planos, la dirección es el producto vectorial de la dirección de ambos planos:
dr = dP1 x dP2
Producto mixto de tres vectores
Se define el producto mixto de tres vectores como el producto escalar del primero por el producto vectorial del segundo por el tercero:
| u1 u2 u3 |
[u, v, w] = u · v x w = | v1 v2 v3 |
| w1 w2 w3 |
Sus propiedades fundamentales son:
[u, v, w] = - [u, w, v] = [v, w, u]
[u, v, w] = 0 si u = 0, v = 0 ó w = 0
[u, v, w1 + w2] = [u, v, w1] + [u, v, w2]
[u, v, a · w] = a · [u, v, w]
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas se corten es que el producto mixto de los vectores de dirección de ambas y un vector que una dos puntos de ellas, sea cero:
[ dr, ds , AB ] = 0
APLICACIONES GEOMETRICAS
Sean los puntos P = (p1, p2, p3) y Q = (q1, q2, q3), el plano PI == Ax + By + Cz + D, y además el punto A que pertenece a la recta r, y el punto B que pertenece a la recta s.
Distancias
Entre dos puntos
d( P, Q ) = | PQ | = Raíz[ (q1 - p1)^2 + (q2 - p2)^2 + (q3 - p3)^2 ]
Entre un punto y una recta
d( P, r ) = | AP x dr | / | dr |
Entre un punto y un plano
d( P, PI ) = Ax + By + Cz + D / | dPI |
Entre dos rectas que se cruzan
d( r, s ) = [ dr , ds , AB ] / | dr x ds |
Angulos
De dos rectas
cos( dr, ds ) = dr · ds / | dr | · | ds |
De una recta y un plano
cos( PI / 2 ) - cos( dr, ds ) = dr · ds / | dr | · | ds |
De dos planos
El de sus vectores de dirección.
Areas y volúmenes
De un triángulo
Area = 1 / 2 · | AB x AC |
De un paralelepípedo
Volumen = [ AB, AC, AD ]
De un tetraedro
Volumen = 1 / 6 · [ AB, AC, AD ]