Espacio afín
Es una aplicación de un conjunto de puntos sobre un espacio vectorial que cumple:
f( P, Q ) = u = PQ
f( P, Q ) = 0 => P = Q
PR = PQ + QR => f( P, R ) = f( P, Q ) + f( Q, R )
NOTA: las letras que aparecen subrayadas corresponden a vectores, aunque en la expresión correcta llevan un subrayado superior.
Una referencia afín es un conjunto formado por un punto y una base del espacio vectorial:
R = { 0, u1, u2, ..., un } => dim( V ) = n => n es el número de coordenadas
Teniendo en cuenta que en un espacio vectorial V, siempre tendremos unos vectores que parten desde el origen de ese espacio vectorial (forman una base B) y que multiplicado por otros números reales (coordenadas de un vector dado) determinan la posición de dicho vector en el espacio vectorial. Es decir, cualquier vector X se expresa como:
X = x1 · e1 + x2 · e2 + ... + xn · en || B = {e1, e2, ..., en} || X = (x1, x2, ..., xn)
RECTAS EN EL ESPACIO
Ecuaciones de una recta
Sea P = (p1, p2), X = (x1, x2) y d = (d1, d2). Una recta es un subespacio de dimensión 1 que se determina por:
Un punto y una dirección
Ecuación vectorial: OX = OP + a · d
Ecuaciones paramétricas: x1 = p1 + a · d1 || x2 = p2 + a · d2
Ecuación continua: x1 - p1 / d1 = x2 - p2 / d2
Ecuación cartesiana: Ax1 + Bx2 + C = 0 || A = d2 || B = -d1 || C = d2 · p1 - d1 · p2
Dos puntos no coincidentes
Ecuación: d = PQ = (q1 - p1, q2 - p2) y se vuelve al caso primero
Ecuación de una recta
Determinar la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos P(1, 2, -1) y Q(3, -5, 2)
Obtenemos la dirección de la recta que viene determinada por:
d1 = q1 - p1 = 3 - 1 = 2
d2 = q2 - p2 = -5 - 2 = -7
d3 = q3 - p3 = 2 - (-1) = 3
Para mejor comprensión las coordenadas x1, x2 y x3 se llamarán x, y y z. Aplicando la ecuación continua:
x - 1 / 2 = y - 2 / -7 = z + 1 / 3
Posiciones de dos rectas
Sean dos rectas r y s de direcciones dr = (dr1, dr2) y ds = (ds1, ds2). Entonces:
Si dr = a · ds entonces dr1 / dr2 = ds1 / ds2 : r y s son paralelas
Si dr = a · ds y P pertenece a r, s : r y s son coincidentes
Si dr # a · ds entonces P = (p1, p2) siendo solución a · r + b · s = 0 : r y s se cortan en un punto
PLANOS EN EL ESPACIO
Ecuaciones de un plano
Sea P = (p1, p2, p3), X = (x1, x2, x3), u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). Un plano es un subespacio de dimensión 2 que se determina por:
Un punto y dos vectores
Ecuación vectorial: OX = OP + a · u + b · v
Ecuaciones paramétricas: x1 = p1 + a·u1 + b·v1 || x2 = p2 + a·u2 + b·v2 || x3 = p3 + a·u3 + b·v3
Ecuación cartesiana: A(x1 - p1) + B(x2 - p2) + C(x3 - p3) = 0
donde A = | u2 v2 | , B = - | u1 v1 | y C = | u1 v1 |
| u3 v3 | | u3 v3 | | u2 v2 |
Tres puntos no coincidentes
Ecuación: P1P2 || P1P3 || P2P3 => y se vuelve al caso primero
Un punto y un vector perpendicular
Ecuación: d1 · (x1 - p1) + d2 · (x2 - p2) + d3 · (x3 - p3) = 0
Posiciones de dos planos
Sean los planos P1 y P2 de ecuaciones y matriz ampliada siguientes:
P1 == A1x + B1y + C1z + D1 = 0
P2 == A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( M | N ) = | A1 B1 C1 || D1 |
| A2 B2 C2 || D2 |
Utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius se obtiene:
Si rg( M ) = rg( M | N ) = 1 y A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 = D1 / D2 || Son planos coincidentes
rg( M ) = 1 y rg( M | N ) = 2 y A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 || Son planos paralelos
rg( M ) = rg( M | N ) = 2 || Los planos se cortan según una recta
Una recta puede interpretarse como una intersección de dos planos:
r == { d2 · (x1 - p1) - d1 · (x2 - p2) = 0 || d3 · (x1 - p1) - d1 · (x3 - p3) = 0 }
Un haz propio de planos representa el conjunto de planos que contiene a una recta r como eje:
a · (A1x + B1y + C1z + D1) + b · (A2x + B2y + C2z + D2) = 0
Ecuación de un plano
Determinar las ecuaciones paramétrica y cartesiana del plano que pasa por los puntos A(0, -2, 1), B(-1, -6, -1) y C(-3, 1, 0)
Tomando como ejemplo el punto A y los vectores AB y AC:
AB = (-1, -4, -2)
AC = (-3, 3, -1)
Primero se obtiene la ecuación paramétrica:
x = -a - 3b
y = -2 - 4a + 3b
z = 1 - 2a - b
Una vez obtenida la ecuación cartesiana, se desarrollan los determinantes y queda al final:
10x + 5y - 15z + 25 = 0
2x + y - 3z + 5 = 0
Posiciones de tres planos
Sean los planos P1, P2 y P3 de ecuaciones y matriz ampliada siguientes:
P1 == A1x + B1y + C1z + D1 = 0
P2 == A2x + B2y + C2z + D2 = 0
P3 == A3x + B3y + C3z + D3 = 0
| A1 B1 C1 || D1 |
( M | N ) = | A2 B2 C2 || D2 |
| A3 B3 C3 || D3 |
Utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius se obtiene:
Si rg( M ) = rg( M | N ) = 1 || Los tres planos son coincidentes
Si rg( M ) = 1 y rg( M | N ) = 2 || Hay tres planos paralelos o dos planos coincidentes y uno paralelo
Si rg( M ) = rg( M | N ) = 2 || Los planos se cortan según una recta r (forman un haz propio)
Si rg( M ) = 2 y rg( M | N ) = 3 || Se cortan dos a dos (prisma) o dos paralelos cortados por otro
Si rg( M ) = rg( M | N ) = 3 || Los planos se cortan en un sólo punto (forman un triedro)