01. Lógica de proposiciones

INTRODUCCION

Teniendo en mente que queremos presentar los sistemas deductivos de la lógica como una herramienta práctica para los informáticos, vamos a introducirnos en el estudio de la lógica comenzando por la más simple, la lógica de proposiciones, que corresponde a la lógica que simboliza y describe razonamientos basados en enunciados declarativos.

Proposiciones

Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediantes letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser:

Tautología: es la sentencia que es verdadera.

Contradicción: es la sentencia que es falsa.

Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

LENGUAJE PROPOSICIONAL

Sintaxis

El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:

Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso.

Símbolos de variables: p, q, r, s, ...

Símbolos de conectivas: NO, Y, O, O ... O, SI ... ENTONCES, ... SI Y SOLO SI ...

Símbolos de puntuación: ( , ), para evitar ambigüedades.

Reglas de formación

Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de formación, y que son:

Una variable proposicional es una sentencia bien formada.

Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.

Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituye una sentencia bien formada.

Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.

El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más evidentes usando corchetes y llaves.

A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.

Conectivas

Las conectivas se dividen por su aplicación en:

Singulares: se aplican a una única sentencia.

Binarias: se aplican a dos sentencias.

Por su definición, también se pueden dividir en:

Primitivas: las variables proposicionales, los paréntesis y las conectivas NO y O.

Definidas: las conectivas Y, SI ... ENTONCES, ... SI Y SOLO SI ... y O ... O.

Tablas de verdad

La tabla de verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación.

SEMANTICA

Negación (NO)

Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

p     NO p

========

V       F

F       V

Disyunción inclusiva (O)

La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p   q      p O q

=============

V   V        V

V   F        V

F   V        V

F   F        F

Conjunción (Y)

Es una conectiva definida por:

   p Y q = NO ( NO p O NO q )

La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p   q      p Y q

=============

V   V        V

V   F        F

F   V        F

F   F        F

Condicional (SI ... ENTONCES)

Es una conectiva definida por:

   p COND q = NO p O q

La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.

p   q      p COND q

================

V   V          V

V   F          F

F   V          V

F   F          V

Bicondicional (... SI Y SOLO SI ...)

Es una conectiva definida por:

   p BICOND q = ( ( p COND q ) Y ( Q COND p ) )

La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

p   q      p BICOND q

==================

V   V           V

V   F           F

F   V           F

F   F           V

Disyunción exclusiva (O ... O)

Es una conectiva definida por:

   p EXCL q = NO ( p BICOND q )

La sentencia será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera.

p   q      p EXCL q

================

V   V          F

V   F          V

F   V          V

F   F          F

Axiomas y reglas

Los axiomas para el cálculo proposicional son:

( p O p ) COND p

q COND ( p O q )

( p O q ) COND ( q O p )

( p COND q ) COND [ ( r O p ) COND ( r O q ) ]

A partir de estos axiomas y aplicando las dos reglas de transformación siguientes se puede demostrar cualquier teorema:

Regla de sustitución: el resultado de reemplazar cualquier variable en un teorema por una sentencia bien formada es un teorema.

Regla de separación: si S y ( S COND R ) son teoremas, entonces R es un teorema.

Relativo a un criterio de validación, un sistema axiomático debe cumplir las siguientes propiedades:

Debe ser lógico o razonable: en el sentido de que todo teorema es una tautología.

Completo: toda sentencia bien formada v lida es un teorema y se debe poder demostrar a partir de los axiomas.

Consistente: no se pueden demostrar como teoremas, sentencias bien formadas que no sean tautologías.

Deben ser independientes: ningún axioma debe ser derivable a partir de los otros.