06. Sistema de ecuaciones lineales

EXPRESION MATRICIAL

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones y n incógnitas cuya expresión general es A · X = B, donde A es la matriz asociada al sistema, X la matriz columna de las incógnitas y B la matriz columna de los términos independientes.

    a11 · x1 +  a12 · x2 + ... + a1n · xn =  b1

    a21 · x1 +  a22 · x2 + ... + a2n · xn =  b2

    ...  ...   ...  ...   ...   ...  ...   ...

    am1 · x1 +  am2 · x2 + ... + amn · xn =  bm

Se llama solución del sistema a un conjunto de elementos (k1, k2, ... , kn) tales que sustituidos en las incógnitas (x1, x2, ... , xn) verifican todas las ecuaciones. Este sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial como:

                    |  x1 |   |  a11    a12   ...    a1n  |   |   b1  |

   A · X = B   =>   |  x2 | · |  a21    a22   ...    a2n  | = |   b2  |

                    | ... |   |  ...   ...   ...   ...   |   |  ... |

                    |  xn |   |  am1    am2   ...    amn  |   |   bm  |

Por tanto, un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede interpretarse como la expresión de una aplicación lineal f: U -> V, de matriz asociada A donde U es un K-espacio vectorial de dimensión n y V es un K-espacio vectorial de dimensión m, y tal que la búsqueda de soluciones equivale a hallar vectores x = (x1, x2, ... , xn) que pertenecen a U que se aplican en el vector b = (b1, b2, ... , bm) que pertenece a V. La discusión del sistema puede realizarse según:

  • b no pertenece a Im( f ): no existen x tal que f( x ) = b. El sistema no tiene solución (sistema incompatible).

  • b pertenece a Im( f ): existen x tales que f( x ) = b. El sistema tiene solución (sistema compatible).

Si el sistema tiene solución, pueden darse varios casos:

  • Que sea indeterminado: la solución no es única.

  • Que sea determinado: la solución es única.

  • Que sea homogéneo: la solución es cero (A · X = 0).

METODOS DE RESOLUCION

Sistemas equivalentes

Si en la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales se efectúan operaciones elementales con las filas, la matriz obtenida corresponde a un sistema de ecuaciones equivalente al primero, es decir, tienen el mismo sistema de solución.

Teorema de Rouché-Frobenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea compatible (que tenga solución) es que coincidan los rangos de la matriz A y de la matriz ampliada A | B que resulta de ampliar A con la matriz columna de los términos independientes B, siendo n el número de incógnitas:

  • Si rg( A ) = rg( A | B ) = n el sistema es determinado.

  • Si rg( A ) = rg( A | B ) < n el sistema es indeterminado.

Estudio de la compatibilidad de un sistema

Resolver el sistema:

x + 2y - z = 1

-3x + y - 2z = 2

-x + 5y - 4z = -2

             |  1   2   -1 ||   1 |

( A | B ) =  | -3   1   -2 ||   2 |

             | -1   5   -4 ||  -2 |

Como r( A ) = 2 y r( A | B ) = 3 el sistema es incompatible

Regla de Cramer

Se aplica cuando tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas, la matriz es regular y el sistema es compatible determinado. Su solución única es:

   xi = | Ai | / | A |

donde i = 1, 2, ..., n, siendo Ai la matriz que resulta de sustituir en A la columna i por la matriz columna B:

   Ai = A - {a1i, a2i, ..., ami} + {b1, b2, ..., bm}

Estudio de la solución de un sistema compatible determinado

Resolver el sistema:

x + y + z = 1

-2x + y - z = 2

3x + y + 3z = 0

Como r( A ) y r( A | B ) son iguales, e igual además al número de incógnitas ( 3 ), el sistema es compatible determinado y por tanto, tiene solución única. Se resuelve por Cramer:

          | 1   1    1 |                        |  1   1    1 |                          |  1   1   1 |

          | 2   1   -1 |                       | -2   2   -1 |                          | -2   1   2 |

          | 0   1    3 |                        |  3   0    3 |                          |  3   1   0 |

Ax = ----------------- = 0     Ay = ---------------- = 3/2     Az = ---------------- = -1/2

          |   1  1    1  |                      |   1   1    1 |                         |  1   1     1 |

          | -2   1   -1 |                       | -2   1   -1 |                         | -2   1   -1 |

          |  3   1    3  |                      |   3   1    3 |                         |  3   1    3  |

Método de Gauss

Se trata de aplicar a la matriz ampliada (A | B) transformaciones elementales de las filas hasta conseguir una matriz triangular, cuyo sistema asociado es fácilmente resoluble:

   |   a11    a12   ...   a1n  ||   b1   |    |  c11   c12   ...   c1n  ||  x1  |

   |   a21    a22   ...   a2n  ||   b2   | = |   0    c22   ...    c2n  ||  x2  |

   |   ...      ...    ...     ...  ||   ...    |    |   0      0    ...     ...  ||   ...  |

   |  am1   am2   ...   amn  ||  bm   |    |   0      0    0    cmn  ||  xn  |

Estudio de un sistema por solución de un sistema equivalente

Resolver el sistema:

x + y + 3z = 5

-y + z = 3

2x - y + 4z = 11

Se considera la matriz ampliada del sistema:

| 1    1   3  ||    5 |

| 0   -1   1  ||    3 |

| 2   -1   4  ||  11 |

Se sustituye la última fila por ella misma menos la primera por 2. Se obtiene:

| 1     1     3  ||  5 |

| 0    -1     1  ||  3 |

| 0    -3   -2  ||  1 |

Se sustituye la última fila por ella misma menos 3 veces la segunda. Se obtiene:

| 1    1    3  ||    5 |

| 0   -1    1  ||   3 |

| 0    0   -5  ||  -8 |

Y al final corresponde a un sistema equivalente al primero:

x + y + 3z = 5

-y + z = 3

-5z = -8

Donde z = 8/5, se sustituye en la segunda donde y = -7/5 y sustituyendo ambos en la primera x = 8/5

Discutir y resolver un sistema según un valor determinado

Discutir y resolver el sistema:

ax + y + z = a

x + ay + z = a^2

x + y + az = a^3

Haciendo el determinante de la matriz A, tendremos:

| a   1   1 |

| 1   a   1 | => a = -2   y   a = 1

| 1   1   a |

1º Caso) Si a = -2 entonces las matrices son:

| -2    1    1  ||  -2 |

|  1   -2    1  ||   4 |   =>   r( A ) = 2   y   r( A | B ) = 3   =>   Sistema incompatible

|  1    1   -2  ||  -8 |

2º Caso) Si a = 1 entonces las matrices son:

| 1   1   1  ||  1 |

| 1   1   1  ||  1 |   =>   r( A ) = r( A | B ) = 1   =>   Sistema compatible indeterminado

| 1   1   1  ||  1 |

3º Caso) Si a # -2 y a # 1 entonces las matrices son:

r( A ) = r( A | B ) = 3   =>   Sistema compatible determinado

x = | Ax | / | A | = - a(a+1) / a+2

y = | Ay | / | A | = a / a+2

z = | Az | / | A | = a(a+1)^2 / a+2

Donde si a = -2 no existe solución