03. Matrices

CONCEPTOS BASICOS

Se llama matriz a una forma reticular compuesta de filas (m) y columnas (n), donde cada elemento lleva asociado un doble índice, el primero (i = 1, 2, ..., m) para indicar la fila y el segundo (j = 1, 2, ..., n) para indicar la columna. El orden de una matriz (m x n) expresa las filas y columnas que componen la matriz. Se designa como Amxn o como un conjunto de sus elementos (aij):

   |  a11    a12    ...   a1n  |

   |  a21    a22    ...   a2n  |

   |  ...    ...   ...   ...  |

   |  am1    am2    ...   amn   |

TIPOS DE MATRICES

Las matrices se clasifican según la disposición de sus elementos. Pueden ser:

Rectangular

Es aquella que el número de filas es distinto al número de columnas (m # n).

   |  a   a   a  |

   |  a   a   a  |

Cuadrada

Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas (m = n).

   |  a   a   a  |

   |  a   a   a  |

   |  a   a   a  |

Fila

Es aquella que contiene solamente una fila (1 x n).

   |  a   a   a  |

Columna

Es aquella que contiene solamente una columna (m x 1).

   |  a  |

   |  a  |

   |  a  |

Triangular superior

Es aquella que tiene todos los elementos por debajo de la diagonal principal igual a cero (i > j   =>   aij = 0).

   |  a   a   a  |

   |  0   a   a  |

   |  0   0   a  |

Triangular inferior

Es aquella que tiene todos los elementos por encima de la diagonal principal igual a cero (i < j   =>   aij = 0).

   |  a   0   0  |

   |  a   a   0  |

   |  a   a   a  |

Opuesta

Es aquella que tiene todos los elementos cambiados de signo con respecto a la matriz original (aij = -aij).

   |  -a   -a   -a  |

   |  -a   -a   -a  |

   |  -a   -a   -a  |

Transpuesta (At)

Es aquella que resulta de cambiar las filas por las columnas (aij = aji).

   |  a11   a21   a31  |

   |  a12   a22   a32  |

   |  a13   a23   a33  |

Nula

Es aquella que tiene todos sus elementos igual a cero (i, j   =>   aij = 0).

   |  0   0   0  |

   |  0   0   0  |

   |  0   0   0  |

Diagonal

Es aquella que tiene todos sus elementos igual a cero excepto en la diagonal principal (i # j   =>   aij = 0).

   |  a   0   0  |

   |  0   b   0  |

   |  0   0   c  |

Escalar

Es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales (i # j   =>   aij = 0   ||   i = j   =>   aij = k).

   |  k   0   0  |

   |  0   k   0  |

   |  0   0   k  |

Unidad

Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal igual a 1 (i # j   =>   aij = 0   ||   i = j   =>   aij = 1).

   |  1   0   0  |

   |  0   1   0  |

   |  0   0   1  |

Simétrica

Es una matriz transpuesta excepto en los elementos de la diagonal principal (i # j   =>   aij = aji   ||   i = j   =>   aij = x).

   |  x     a21   a31  |

   |  a12    x    a32  |

   |  a13    a23   x   |

Antisimétrica o hemisimétrica

Es una matriz simétrica con los elementos simétricos opuestos y con los elementos de la diagonal principal igual a cero (i # j   =>   aij = -aji   ||   i = j   =>   aij = 0).

   |  0     -a21   -a31  |

   |  -a12   0     -a32  |

   |  -a13  -a23    0    |

Comprobar el tipo de una matriz

Dada la matriz siguiente, averiguar de qué tipo se trata:

   |   0    1   2  |

   |  -1    0   6  |

   |  -2   -6   0  |

La matriz es antisimétrica

OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices

La suma de dos matrices es otra matriz que resulta de sumar los elementos que correspondan a la misma fila y a la misma columna. Ambas matrices deben de ser del mismo orden:

   A + B = C   =>   (m x n) + (m x n)

   cij = aij + bij

Producto de una matriz por un escalar

El producto de una matriz por un escalar es otra matriz que resulta de multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la matriz:

   A · k = A'

   aij' = aij · k

Producto de matrices

El producto de dos matrices es otra matriz que tiene de orden el número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda, por lo que no es conmutativo. La condición para hacer el producto de matrices es que el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. Es decir:

   A x B = C   =>   (m x n) · (n x p)

   cij = Sumatorio de k (1 ... n) en aik · bkj

Multiplicar dos matrices

Dadas las siguientes matrices, hallar el producto A · B:

     |   2   3   -2  |              |  -2   3   -1  |

A =  |  -1   0   -3  |          B = |   4    2   1  |

     |   4   5    2  |              |   5   -2   4  |

          |   2 · -2 + 3 · 4 + -2 · 5     2 · 3 + 3 · 2 + -2 · -2      2 · -1 + 3 ·  1 + -2 · 4  |

A · B =   |  -1 · -2 + 0 · 4 + -3 · 5    -1 · 3 + 0 · 2 + -3 · -2     -1 · -1 + 0 · -1 + -3 · 4  |

          |   4 · -2 + 5 · 4 +  2 · 5     4 · 3 + 5 · 2 +  2 · -2      4 · -1 + 5 ·  1 +  2 · 4  |

         |  -2   16    -7  |

A · B =  |  -13   3   -11  |

         |   22  18     9  |