02. Espacio vectorial

CONCEPTOS BASICOS

Sean V un conjunto no vacío de vectores y Kn un cuerpo de escalares donde n representa la dimensión del espacio. Sean u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) vectores pertenecientes a V. Sean también a, b y c escalares pertenecientes a Kn. Un espacio vectorial es una terna formada por un conjunto de vectores que está establecido mediante una ley interna (suma de vectores) y una ley externa (producto de un escalar por un vector):

1ª Ley interna: o suma, a cada par (x, y) que pertenece a V x V se le asocia su suma x + y (que pertenece a V), de tal forma que el par (V, +) sea un grupo conmutativo:

  • Interna: (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) que pertenece a V

  • Conmutativa: (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = (v1, v2, v3) + (u1, u2, u3)

  • Asociativa: [(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)] + (w1, w2, w3) = (u1, u2, u3) + [(v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)]

  • Elemento neutro: (u1, u2, u3) + (0, 0, 0) = (u1, u2, u3)

  • Elemento simétrico: (u1, u2, u3) + (-u1, -u2, -u3) = (0, 0, 0)

2ª Ley externa: o producto, a cada par (a, x) que pertenece a K x V se le asocia su producto a · x (que pertenece a V), de tal forma que verifique:

  • Asociativa escalares: a · [b · (u1, u2, u3)] = (a · b) · (u1, u2, u3)

  • Distributiva escalares: (a + b) · (u1, u2, u3) = a · (u1, u2, u3) + b · (u1, u2, u3)

  • Distributiva vectores: a · [(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)] = a · (u1, u2, u3) + a · (v1, v2, v3)

  • Elemento unidad: 1 · (u1, u2, u3) = (u1, u2, u3)

Comprobación de un espacio vectorial

Sea V = {(a, b)} donde (a, b) + (c, d) = (a · c, b + d) y k · (a, b) = (ak, k · b). Comprobar que V es un espacio vectorial.

  • Conmutativa:

(a, b) + (c, d) = (ac, b + d) (c, d) + (a, b) = (ca, d + b)

  • Asociativa:

[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (ac, b + d) + (e, f) = (ace, b + d + f) (a, b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (ce, d + f) = (ace, b + d + f)

  • Elemento neutro:

(a, b) + (e1, e2) = (ae1, b + e2) = (a, b) ae1 = a || b + e2 = b || e1 = 1 || e2 = 0

  • Elemento simétrico:

(a, b) + (a', b') = (aa', b + b') = (1, 0) aa' = 1 || b + b' = 0 || a' = 1 / a || b' = -b

  • Asociativa escalares:

k · (l · (a, b)) = k · (al, l · b) = ((al)k, k · l · b) = (al · k, k · l · b) (k · l) · (a, b) = (ak · l, k · l · b)

  • Distributiva escalares:

(k + l) · (a, b) = (ak + l, (k + l) · b) = (ak+ l, k · b + l · b) k · (a, b) + l · (a, b) = (ak, k · b) + (al, l · b) = (ak · al, k · b + l · b) = (ak + l, k · b + l · b)

  • Distributiva vectores:

k · [(a, b) + (c, d)] = k · (ac, b + d) = [(ac)k, k · (b + d)] = (ak · ck, k · b + k · d) k · (a, b) + k · (c, d) = (ak, k · b) + (ck, k · d) = (ak · ck, k · b + k · d)

  • Elemento unidad:

1 · (a, b) = (a1, 1 · b) = (a, b)

Subespacio vectorial

Dado un subconjunto S de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, se dice que S es un subespacio vectorial de V, si con las mismas leyes definidas en V, S tiene estructura de espacio vectorial sobre K. La condición necesaria y suficiente para que S sea subespacio vectorial es que se verifique:

  • Para todo x, y que pertenecen a S, la suma x + y tambien pertenece a S.

  • Para todo a de K, para todo x de S, el producto a . x + b · y pertenece a S.

Comprobación de un subespacio vectorial

Sea S = {(x, 2x, z)} donde se cumple que: (x, 2x, z) + (x', 2x', z') = [x + x', 2 · (x + x'), z + z'] pertenece a S k · (x, 2x, z) = (k · x, 2 · k · x, k · z) pertenece a S

COMBINACION LINEAL

Una familia de vectores es un subconjunto de vectores de un subespacio vectorial:

F = { (u1, u2, u3), (v1, v2, v3), (w1, w2, w3) }

Si un vector puede expresarse en función de dicha familia, se llama combinación lineal:

(x1, x2, x3) = a · (u1, u2, u3) + b · (v1, v2, v3) + c · (w1, w2, w3)

Si una combinación lineal da lugar al vector nulo, entonces se dice que es un sistema linealmente independiente:

(0, 0, 0) = a · (u1, u2, u3) + b · (v1, v2, v3) + c · (w1, w2, w3)

Se llama variedad lineal al conjunto de todos los vectores resultantes de la combinación lineal. Si dicha variedad genera el subespacio vectorial, entonces es un sistema generador:

L(F) = S

Comprobación de un sistema libre

Comprobar si es libre o ligado el sistema de vectores F = { (1, -1, 3) , (0, -1, 2) }

  • a · (1, -1, 3) + b · (0, -1, 2) = (0, 0, 0)

  • a = 0 || -a - b = 0 || 3a + 2b = 0 || a = b = 0

  • El sistema es libre

Base de un espacio vectorial

Una base es un sistema libre de generadores:

B = { (x1, x2, x3) , (y1, y2, y3) , (z1, z2, z3) }

Un vector tiene de coordenadas con respecto a la base:

u1 = a1 · x1 + a2 · y1 + a3 · z1 u2 = a1 · x2 + a2 · y2 + a3 · z2 u3 = a1 · x3 + a2 · y3 + a3 · z3

Se llama dimensión del espacio vectorial al número de vectores de la base:

dim(V)

Se llama rango de un sistema a la dimensión del subespacio vectorial generado por dicho sistema:

rg(F)

Cambio de base de un vector

Hallar las coordenadas del vector a(3, 5, 2) respecto de la base B' = {b, c, d}, siendo b(1, 1, 0), c(0, 0, 1) y d(1, 0, 3).

  • 3 = a1 · x1 + a2 · y1 + a3 · z1 = a1 · 1 + a2 · 0 + a3 · 1 = a1 + a3

  • 5 = a1 · x2 + a2 · y2 + a3 · z2 = a1 · 1 + a2 · 0 + a3 · 0 = a1

  • 2 = a1 · x3 + a2 · y3 + a3 · z3 = a1 · 0 + a2 · 1 + a3 · 3 = a2 + 3a3

Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante:

a1 = 5 || a3 = -2 || a2 = 8

a'(5, 8, -2)