08. Espacio euclídeo

PRODUCTO ESCALAR

Definición

Sean dos vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) de dos espacios vectoriales U y V. El producto escalar es una aplicación de dos espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales y queda definido por:

u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3

El producto escalar verifica las siguientes propiedades:

u · u >= 0

u · v = v · u

(a · u) · v = a · (u · v)

u · (v + w) = u · v + u · w

Espacio euclídeo

Es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Otras definiciones relacionadas con el espacio euclídeo son:

Norma de un vector

Es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo:

|| u || = Raíz( u · u )

Módulo de un vector

Es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes de un vector:

| u | = Raíz( x1^2 + x2^2 + x3^2 )

Producto escalar

Tras lo ya visto, el producto escalar queda definido de la siguiente forma:

u · v = | u | · | v | · cos( u, v )

En E2 y E3 (espacios de dimensión 2 y 3), la norma de un vector coincide con su módulo. Se verifica que:

Desigualdad triangular:   | u + v | <= | u | + | v |

Desigualdad de Schwartz:   | u · v | <= | u | · | v |

Ortogonalidad y ortonormalidad

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero:

u T v   <=>   u · v = 0

Dos vectores son ortonormales cuando son ortogonales y cada uno de sus módulos vale uno:

u N v   <=>   (u T v)   y   | u | = | v | = 1

Una base vectorial {e1, e2, ..., en}, con i, j = 1, 2, ..., n se dice que es:

Ortogonal: si ei T ej para i # j

Ortonormal: si es ortogonal y | ei | = 1

El vector unitario se obtiene dividiendo cada coordenada por el módulo del vector:

( u1 / | u | , u2 / | u | , u3 / | u | )   donde u = (u1, u2, u3)

Una referencia ortonormal es de dirección positiva si:

|  u1    u2    u3 |

|  v1    v2    v3 | > 0   donde R = {0, u, v, w}

| w1   w2   w3 |

PRODUCTO VECTORIAL

Definición

Es una aplicación del producto de los cuerpos de los reales sobre el mismo cuerpo y queda definida por:

u x v = | u | · | v | · sen( u, v )

El producto vectorial verifica las siguientes propiedades:

u x v es perpendicular a ambos vectores

Si {u, v, u x v} es libre, entonces es de orientación positiva

u x u = 0

(a · u) x v = a · (u x v) = u x (a · v)

Si v = a · u entonces u x v = 0

u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

Si una recta viene expresada como intersección de dos planos, la dirección es el producto vectorial de la dirección de ambos planos:

dr = dP1 x dP2

Producto mixto de tres vectores

Se define el producto mixto de tres vectores como el producto escalar del primero por el producto vectorial del segundo por el tercero:

                                  |  u1    u2    u3 |

[u, v, w] = u · v x w = |  v1    v2    v3 |

                                  | w1   w2   w3 |

Sus propiedades fundamentales son:

[u, v, w] = - [u, w, v] = [v, w, u]

[u, v, w] = 0   si   u = 0, v = 0 ó w = 0

[u, v, w1 + w2] = [u, v, w1] + [u, v, w2]

[u, v, a · w] = a · [u, v, w]

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas se corten es que el producto mixto de los vectores de dirección de ambas y un vector que una dos puntos de ellas, sea cero:

[ dr, ds , AB ] = 0

APLICACIONES GEOMETRICAS

Sean los puntos P = (p1, p2, p3) y Q = (q1, q2, q3), el plano PI == Ax + By + Cz + D, y además el punto A que pertenece a la recta r, y el punto B que pertenece a la recta s.

Distancias

Entre dos puntos

d( P, Q ) = | PQ | = Raíz[ (q1 - p1)^2 + (q2 - p2)^2 + (q3 - p3)^2 ]

Entre un punto y una recta

d( P, r ) = | AP x dr | / | dr |

Entre un punto y un plano

d( P, PI ) = Ax + By + Cz + D / | dPI |

Entre dos rectas que se cruzan

d( r, s ) = [ dr , ds , AB ] / | dr x ds |

Angulos

De dos rectas

cos( dr, ds ) = dr · ds / | dr | · | ds |

De una recta y un plano

cos( PI / 2 ) - cos( dr, ds ) = dr · ds / | dr | · | ds |

De dos planos

El de sus vectores de dirección.

Areas y volúmenes

De un triángulo

Area = 1 / 2 · | AB x AC |

De un paralelepípedo

Volumen = [ AB, AC, AD ]

De un tetraedro

Volumen = 1 / 6 · [ AB, AC, AD ]