07. Espacio afín

Espacio afín

Es una aplicación de un conjunto de puntos sobre un espacio vectorial que cumple:

f( P, Q ) = u = PQ

f( P, Q ) = 0 => P = Q

PR = PQ + QR => f( P, R ) = f( P, Q ) + f( Q, R )

NOTA: las letras que aparecen subrayadas corresponden a vectores, aunque en la expresión correcta llevan un subrayado superior.

Una referencia afín es un conjunto formado por un punto y una base del espacio vectorial:

R = { 0, u1, u2, ..., un }   =>   dim( V ) = n   =>   n es el número de coordenadas

Teniendo en cuenta que en un espacio vectorial V, siempre tendremos unos vectores que parten desde el origen de ese espacio vectorial (forman una base B) y que multiplicado por otros números reales (coordenadas de un vector dado) determinan la posición de dicho vector en el espacio vectorial. Es decir, cualquier vector X se expresa como:

X = x1 · e1 + x2 · e2 + ... + xn · en   ||   B = {e1, e2, ..., en}   ||   X = (x1, x2, ..., xn)

RECTAS EN EL ESPACIO

Ecuaciones de una recta

Sea P = (p1, p2), X = (x1, x2) y d = (d1, d2). Una recta es un subespacio de dimensión 1 que se determina por:

Un punto y una dirección

Ecuación vectorial:   OX = OP + a · d

Ecuaciones paramétricas:   x1 = p1 + a · d1   ||   x2 = p2 + a · d2

Ecuación continua:   x1 - p1 / d1 = x2 - p2 / d2

Ecuación cartesiana:   Ax1 + Bx2 + C = 0   ||   A = d2   ||   B = -d1   ||   C = d2 · p1 - d1 · p2

Dos puntos no coincidentes

Ecuación:   d = PQ = (q1 - p1, q2 - p2)   y se vuelve al caso primero

Ecuación de una recta

Determinar la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos P(1, 2, -1) y Q(3, -5, 2)

Obtenemos la dirección de la recta que viene determinada por:

d1 = q1 - p1 = 3 - 1 = 2

d2 = q2 - p2 = -5 - 2 = -7

d3 = q3 - p3 = 2 - (-1) = 3

Para mejor comprensión las coordenadas x1, x2 y x3 se llamarán x, y y z. Aplicando la ecuación continua:

x - 1 / 2 = y - 2 / -7 = z + 1 / 3

Posiciones de dos rectas

Sean dos rectas r y s de direcciones dr = (dr1, dr2) y ds = (ds1, ds2). Entonces:

Si dr = a · ds entonces dr1 / dr2 = ds1 / ds2 : r y s son paralelas

Si dr = a · ds y P pertenece a r, s : r y s son coincidentes

Si dr # a · ds entonces P = (p1, p2) siendo solución a · r + b · s = 0 : r y s se cortan en un punto

PLANOS EN EL ESPACIO

Ecuaciones de un plano

Sea P = (p1, p2, p3), X = (x1, x2, x3), u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). Un plano es un subespacio de dimensión 2 que se determina por:

Un punto y dos vectores

Ecuación vectorial:   OX = OP + a · u + b · v

Ecuaciones paramétricas:   x1 = p1 + a·u1 + b·v1   ||   x2 = p2 + a·u2 + b·v2   ||   x3 = p3 + a·u3 + b·v3

Ecuación cartesiana:   A(x1 - p1) + B(x2 - p2) + C(x3 - p3) = 0

donde A = | u2   v2 |   ,   B = - | u1   v1 |   y   C = | u1   v1 |

                | u3   v3 |                | u3   v3 |               | u2   v2 |

Tres puntos no coincidentes

Ecuación:   P1P2   ||   P1P3   ||   P2P3   =>   y se vuelve al caso primero

Un punto y un vector perpendicular

Ecuación:   d1 · (x1 - p1) + d2 · (x2 - p2) + d3 · (x3 - p3) = 0

Posiciones de dos planos

Sean los planos P1 y P2 de ecuaciones y matriz ampliada siguientes:

P1 == A1x + B1y + C1z + D1 = 0

P2 == A2x + B2y + C2z + D2 = 0

( M | N ) = | A1   B1   C1  ||  D1 |

                  | A2   B2   C2  ||  D2 |

Utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius se obtiene:

Si rg( M ) = rg( M | N ) = 1   y   A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 = D1 / D2  ||   Son planos coincidentes

rg( M ) = 1   y   rg( M | N ) = 2   y   A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2   ||   Son planos paralelos

rg( M ) = rg( M | N ) = 2   ||   Los planos se cortan según una recta

Una recta puede interpretarse como una intersección de dos planos:

r == { d2 · (x1 - p1) - d1 · (x2 - p2) = 0   ||   d3 · (x1 - p1) - d1 · (x3 - p3) = 0 }

Un haz propio de planos representa el conjunto de planos que contiene a una recta r como eje:

a · (A1x + B1y + C1z + D1) + b · (A2x + B2y + C2z + D2) = 0

Ecuación de un plano

Determinar las ecuaciones paramétrica y cartesiana del plano que pasa por los puntos A(0, -2, 1), B(-1, -6, -1) y C(-3, 1, 0)

Tomando como ejemplo el punto A y los vectores AB y AC:

AB = (-1, -4, -2)

AC = (-3, 3, -1)

Primero se obtiene la ecuación paramétrica:

x = -a - 3b

y = -2 - 4a + 3b

z = 1 - 2a - b

Una vez obtenida la ecuación cartesiana, se desarrollan los determinantes y queda al final:

10x + 5y - 15z + 25 = 0

2x + y - 3z + 5 = 0

Posiciones de tres planos

Sean los planos P1, P2 y P3 de ecuaciones y matriz ampliada siguientes:

P1 == A1x + B1y + C1z + D1 = 0

P2 == A2x + B2y + C2z + D2 = 0

P3 == A3x + B3y + C3z + D3 = 0

                   | A1   B1   C1  ||  D1 |

( M | N ) =  | A2   B2   C2  ||  D2 |

                   | A3   B3   C3  ||  D3 |

Utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius se obtiene:

Si rg( M ) = rg( M | N ) = 1   ||   Los tres planos son coincidentes

Si rg( M ) = 1   y   rg( M | N ) = 2   ||   Hay tres planos paralelos o dos planos coincidentes y uno paralelo

Si rg( M ) = rg( M | N ) = 2   ||   Los planos se cortan según una recta r (forman un haz propio)

Si rg( M ) = 2   y   rg( M | N ) = 3   ||   Se cortan dos a dos (prisma) o dos paralelos cortados por otro

Si rg( M ) = rg( M | N ) = 3   ||   Los planos se cortan en un sólo punto (forman un triedro)