04. Determinantes

CONCEPTOS BASICOS

Es el escalar que resulta de sumar algebraicamente n! sumandos, de tal forma que cada sumando es el producto de n factores siendo cada factor un elemento de la matriz perteneciente a fila y columna de los restantes. Cada sumando estará afectado del signo + o -, según que la permutación que indica las filas y las que indica las columnas son del mismo o distinto orden respectivamente. Se designa por | A |. Partiendo de una matriz de orden 2, se puede calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada, haciendo divisiones en submatrices cuadradas y multiplicando cada resultado de cada determinante por su menor adjunto.

Para una matriz de orden 2:

   |  a11   a12  |

   |  a21   a22  |

   | A | = a11 · a22 - a12 · a21

Para una matriz de orden 3:

   |  a11   a12   a13  |

   |  a21   a22   a23  |

   |  a31   a32   a33  |

   | A | = a11 · | a11 | - a12 · | a12 | + a13 · | a13 |

   | A | = a11 · | a22 · a33 - a23 · a32 | - a12 · | a21 · a33 - a23 · a31 | + a13 · | a21 · a32 - a22 · a31 |

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES

Menor complementario

Es el determinante de la matriz de orden n - 1 que resulta de eliminar en una matriz la fila i y la columna j, sin alterar los demás elementos.

Mij = | A | - { ai1, ai2, ..., ain, aij, a2j, ..., anj }

Adjunto

Es el menor complementario de un elemento, que resulta de eliminar la fila y columna donde aparece dicho elemento, y que tiene por signo + si (i + j) es par, y - si (i + j) es impar.

Aij = ( -1 )i+j · Mij

Regular

Es una matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de cero:

   | A | # 0

Determinante mediante adjuntos

Es la suma de todos los productos posibles de todos los menores complementarios que se pueden formar con las n filas o columnas por sus correspondientes adjuntos:

   | A | = a1j · A1j + a2j · A2j + ... + anj · Anj

Determinante de una matriz

Calcular el determinante de la siguiente matriz:

   |  2   1   4  |

   |  2   2   1  |

   |  1   3   0  |

| A | = 2 · | 2 · 0 - 1 · 3 | - 2 · | 1 · 0 - 4 · 3 | + 1 · | 1 · 1 - 4 · 2 | = 2·-3 -2·-12 + 1·-7 = -6 -24 -7

| A | = -37.

Matriz adjunta

Es la matriz que resulta de sustituir cada elemento de la matriz por su adjunto:

   adj A = ( Aij )

Matriz inversa

Es la matriz tal que multiplicada por su original da la matriz unidad. La fórmula de la matriz inversa es:

   A-1 = 1 / | A | · ( adj A )t

Los pasos a seguir para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular son:

  1. Se calcula la matriz adjunta.

  2. Se halla la matriz transpuesta de la matriz adjunta.

  3. Se calcula el determinante.

  4. Se divide cada elemento de la matriz resultante por el determinante.

  5. Todos los elementos resultantes serán los elementos de la matriz inversa.

Calcular la matriz inversa

Dada la siguiente matriz, calcular su matriz inversa:

   |   1   -2  |

   |  -3    4  |

Matriz adjunta:

   |  4   3  |

   |  2   1  |

Matriz transpuesta de la matriz adjunta:

   |  4   2  |

   |  3   1  |

Determinante:

   1 · 4 - (-2 · -3) = 4 - 6 = -2

División de elementos por determinante:

   |  4 /-2   2 /-2  |

   |  3 /-2   1 /-2  |

Matriz inversa:

   |   -2      -1   |

   |  -3/2    -1/2  |

Rango de una matriz

Es el orden mayor de los menores complementarios no nulos de una matriz.

   rg( A ) = Max( Mij )

Calcular el rango de una matriz

Calcular el rango de la siguiente matriz:

   |  1   0   3  |

   |  0   2   1  |

Se calcula todos los menores complementarios distintos de cero:

Mi1 =  | 0 · 1 - 3 · 2 | = 0 - 6 = -6

Mi2 =  | 1 · 1 - 3 · 0 | = 1 - 0 = 1

Mi3 =  | 1 · 2 - 0 · 0 | = 2 - 0 = 2

Como los menores complementarios son de orden y hay por lo menos uno distinto de cero, entonces:

   rg( A ) = 2