05. Aplicaciones lineales

CONCEPTOS BASICOS

Una aplicación lineal u homomorfismo es una aplicación (f: U→V) de un espacio vectorial sobre otro en el mismo cuerpo de definición si para cualquier par de vectores u, v de un espacio vectorial y todo escalar a, b se verifica:

f(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = f(u1, u2, u3) + f(v1, v2, v3)

f(a · u1, a · u2, a · u3) = a · f(u1, u2, u3)

Si cumple además

f( a · u1 + b · v1, a · u2 + b · v2, a · u3 + b · v3) = a · f(u1, u2, u3) + b · f(v1, v2, v3)

entonces se habla de homomorfismo.

Comprobar una aplicación lineal

Probar si la aplicación siguiente f : R2 -> R2 es aplicación lineal o no:

f(x, y) = (2x, y)

f[a · (x1, y1) + b · (x2, y2)] = f(a · x1 + b · x2, a · y1 + b · y2) = [2 · (ax1 + bx2), ay1 + by2]

a · f(x1, y1) + b · (x2, y2) = a · (2x1, y1) + b · (2x2, y2) = (2 · ax1 + 2 · bx2, ay1 + by2)

Luego sí es una aplicación lineal

Propiedades

f( 0 ) = 0

f( - u ) = - f( u )

Si S es un subespacio vectorial, f( S ) también es un subespacio vectorial

Si L es un sistema de generadores, f( L ) también es un sistema de generadores

Si L es un sistema ligado, f( L ) también es un sistema ligado

Imagen de una aplicación

Es un subconjunto del espacio vectorial V en el que tienen aplicación todos los elementos del espacio vectorial U utilizado en la aplicación:

   Im(f) = f(U)

Núcleo de una aplicación

Es el conjunto de vectores que tienen como imagen el vector nulo:

   N(f) = { (u1, u2, u3) pertenece a V | f(u1, u2, u3) = (0, 0, 0) } = f -1(0, 0, 0)

Dimensión y rango de una aplicación

La dimensión de la imagen y del núcleo de una aplicación viene dado por la siguiente fórmula:

   dim(N(f)) + dim(Im(f)) = dim(V)

El rango de una aplicación es la dimensión del espacio vectorial imagen y coincide con la matriz asociada:

   rg(f) = dim(Im(f)) = dim(f(V)) = rg(Mf)

CAMBIO DE BASE

Sean dos bases B1 = {e1, e2, ..., en} y B2 = {u1, u2, ..., un} siendo n la dimensión del espacio vectorial V, donde los vectores de B2 en B1 son:

    u1 =  a11 · e1 +  a12 · e2 + ... + a1n · en

    u2 =  a21 · e1 +  a22 · e2 + ... + a2n · en

   ...   ...   ...   ...  ...   ...  ...   ...

    um =  am1 · e1 +  am2 · e2 + ... + amn · en

Sea una aplicación de matrices M(f,B1) y M(f,B2) en las bases B1 y B2. La relación entre ambas es:

   M(f,B2) = C-1 · M(f,B1) · C

donde C es la matriz de cambio de base:

   |  a11   a21   ...   am1  |

   |  a12   a22   ...   am2  |

   |  ...  ...   ...   ...  |

   |  a1n   a2n   ...   amn  |

es decir, sería M(B2,B1).