09. Aplicaciones bilineales

VALORES Y VECTORES PROPIOS

Un autovalor o valor propio de una aplicación lineal es todo escalar tal que existe un vector no nulo que:

f( u ) = a · u

Un autovector o vector propio de una aplicación lineal correspondiente al autovalor es todo vector que:

f( u ) = a · u

La ecuación matricial es aquella en la que son soluciones los vectores propios asociados al valor propio de una matriz cuadrada:

(A - a · I) · X = 0

La ecuación característica es aquella en la que son soluciones los autovalores de la matriz:

| A - a · I | = 0

Un subespacio propio es un subespacio vectorial asociado a cada autovalor. Su dimensión es:

dim La = n - rg( A - a · I )

Si a1, a2, ..., ap son autovalores de una matriz A de orden n, el sistema {X1, X2, ..., Xn}, donde Xi es vector propio asociado a ai, es un sistema libre. Si además p = n, el sistema es una base del espacio vectorial de definición de la aplicación asociada.

Valores y vectores propios

Hallar los valores y vectores propios de la aplicación lineal definida:

f(1, 0, 0) = (0, -2, -2)   ||   f(0, 1, 0) = (-1, 1, 2)   ||   f(0, 0, 1) = (-1, -1, 2)

La matriz en la base canónica es:

       |  0   -1   -1 |

A = | -2    1   -1 |

       | -2    2    2 |

La ecuación característica es:

                     | -a     -1     -1 |

| A - a · I | = | -2   1-a     -1 | = - (a + 1) · (a - 2)^2 = 0

                     | -2      2   2-a |

Los autovalores son a = -1 (multiplicidad simple) y a = 2 (multiplicidad doble). Para una mayor comprensión se llamará a x1, x2 y x3 como x, y y z. Para el caso a = -1 :

x - y - z = 0

-2x + 2y - z = 0

-2x + 2y + 3z = 0

La solución es:

x = y   ||   z = 0   ||   L-1 = { (k, k, 0), donde k pertenece a R }

Para el caso a = 2 :

2x + y + z = 0

2x + y + z = 0

-2x + 2y = 0

La solución es:

x = y   ||   z = -3x   ||   L2 = { (k, k, -3k), donde k pertenece a R }

DIAGONALIZACION DE MATRICES

Semejanza

Dos matrices son semejantes si existe una matriz regular, tal que:

B = P^-1 · A · P

donde P es la matriz de paso de A a B. Algunas propiedades de interés son:

Si A y B son semejantes, | A | = | B |

Si A y B son semejantes, también lo son A^n y B^n

Las matrices asociadas a un endomorfismo en diferentes bases son semejantes

Si A y B son semejantes, tienen la misma ecuación característica y los mismos autovalores con el mismo orden de multiplicidad

El orden de multiplicidad de un autovalor es el número de veces que se repite dicho autovalor.

Diagonalización

Una matriz cuadrada es diagonalizable si y sólo si es semejante a una matriz diagonal:

D = P^-1 · A · P

Diagonalizar una matriz es el proceso de encontrar la matriz diagonal semejante y la matriz de paso. Una matriz es diagonalizable si y sólo si admite n vectores propios linealmente independientes, cuando:

La ecuación característica tiene n raíces reales (iguales o no).

El orden de multiplicidad de cada autovalor en la ecuación característica coincide con la dimensión del subespacio propio asociado.

La matriz diagonal D tiene como diagonal principal:

         a1               a2                      ar

( b1 , ... , b1 , b2 , ... , b2 , ... , br , ... , br )

donde b1, b2, ..., br , son los autovalores con órdenes de multiplicidad a1, a2, ..., ar , respectivamente y siendo a1 + a2 + ... + ar = n. La matriz de paso P es la que tiene por columnas:

Las a1 primeras, los vectores de una base del subespacio asociado a b1.

Las a2 siguientes, los vectores de una base del subespacio asociado a b2 , y así sucesivamente.

Si la matriz A es simétrica, en la diagonalización existen ciertas características:

Los autovalores son todos reales.

Verifican el teorema de caracterización de matrices diagonalizables.

La base de vectores propios es ortogonal.

La matriz ortogonal es la matriz cuadrada que tiene por columnas o filas un sistema ortonormal. Una base ortonormal se obtiene dividiendo cada vector de la base por su módulo. Se verifica que:

A ortogonal   <=>   A^t = A^-1

Diagonalización

Hallar la matriz diagonal y la matriz de paso de la siguiente matriz:

|  3   -1    0 |

| -1    2   -1 |

|  0   -1    3 |

Los autovalores serán:

| 3-a     -1      0 |

|   -1   2-a     -1 | = 0

|    0     -1   3-a |

a = 1   ||   a = 3   ||   a = 4

Los vectores propios son para a = 1 :

2x - y = 0

-x + y - z = 0

-y + 2z = 0

x = k   ||   y = 2k   ||   z = k   ||   L1 = { (k, 2k, k), donde k pertenece a R }

Para a = 3 :

-y = 0

-x - y - z = 0

x = k   ||   y = 0   ||   z = -k   ||   L3 = { (k, 0, -k), donde k pertenece a R }

Para a = 4 :

-x - y = 0

-x - 2y - z = 0

-y - z = 0

x = k   ||   y = -k   ||   z = k   ||   L4 = { (k, -k, k), donde k pertenece a R }

La matriz de paso P es:

| 1    1    1 |

| 2    0   -1 |

| 1   -1    1 |

La matriz diagonal D es:

| 1   0   0 |

| 0   3   0 |

| 0   0   4 |

FORMAS BILINEALES

Una forma bilineal es una aplicación de un producto de espacios vectoriales sobre el cuerpo de los escalares y verifica que:

f( a · u1 + b · u2 , v ) = a · f( u1, v ) + b · f( u2, v )

f( u, a · v1 + b · v2 ) = a · f( u, v1 ) + b · f( u, v2 )

Una forma bilineal se dice:

Real: si el cuerpo K = R.

Simétrica: si f( u, v ) = f( v, u ).

Alternada: si f( u, u ) = 0, equivale también a f( u, v ) = - f( v, u ).

Sea B = {e1, e2, ..., en} una base, y u = (u1, u2, ..., un) y v = (v1, v2, ..., vn) las coordenadas de dichos vectores en la base B, la imagen f( u, v ) puede expresarse en forma matricial como:

                                         | f(e1, e1)   f(e1, e2)   ...   f(e1, en) |   | v1 |

f( u, v ) = | u1, u2, ..., un | · | f(e1, e1)   f(e2, e2)   ...   f(e2, en) | · | v2 | = X^t · A · Y

                                        |     ...            ...        ...        ...     |   | ... |

                                        | f(en, e1)   f(en, e2)   ...   f(en, en) |   | vn |

Cada aij de A en la base B verifica:

aij = f( ei , ej )   =>   i, j = 1, 2, ..., n

Cambio de base

La expresión del cambio de base de una forma bilineal es:

f( u, v ) = X^t · A' · Y   siendo   A' = P^t · A · P

Dos matrices cuadradas del mismo orden son congruentes si existe una matriz regular P tal que:

A = P^t · B · P

Dos vectores son conjugados con un subespacio si lo es con todos sus vectores. Se llama núcleo de una forma bilineal simétrica al conjunto de vectores del espacio vectorial conjugado con todos los vectores de dicho espacio:

N( f ) = {u de V tal que f( u, v ) = 0 para todo v de V}

Una forma bilineal simétrica se dice degenerada si N( f ) = 0, es decir, cuando:

rg( A ) < n   =>   n = dim( V )

Cambio de base

Sea la aplicación f( (x1, x2), (y1, y2) ) = x1y1 + 2x2y1 + x2y2 . Hallar las matrices de la aplicación en la base B = { (1, 0), (1, 1) } y en la base B' = { (0, -1), (1, 2) }

La matriz asociada de la aplicación es:

| 1   0 |

| 2   1 |

Como B = {e1, e2}, entonces e1 = (1, 0) y e2 = (1, 1) :

f(e1, e1) = f( (1, 0), (1, 0) ) = | 1   0 | · | 1   0 | · | 1 | = | 1   0 | · | 1 | = 1 + 0 = 1

                                                             | 2   1 |   | 0 |                  | 0 |

f(e1, e2) = f( (1, 0), (1, 1) ) = | 1   0 | · | 1   0 | · | 1 | = | 1   0 | · | 1 | = 1 + 0 = 1

                                                             | 2   1 |   | 1 |                  | 1 |

f(e2, e1) = f( (1, 1), (1, 0) ) = | 1   1 | · | 1   0 | · | 1 | = | 3   1 | · | 1 | = 3 + 0 = 3

                                                             | 2   1 |   | 0 |                  | 0 |

f(e2, e2) = f( (1, 1), (1, 1) ) = | 1   1 | · | 1   0 | · | 1 | = | 3   1 | · | 1 | = 3 + 1 = 4

                                                             | 2   1 |   | 1 |                  | 1 |

La matriz en la base B es:

| 1   1 |

| 3   4 |

Para la base B', e1 = (0, -1) y e2 = (1, 2) :

f(e1, e1) = f( (0, -1), (0, -1) ) = 1

f(e1, e2) = f( (0, -1), (1, 2) ) = -4

f(e2, e1) = f( (1, 2), (0, -1) ) = -2

f(e2, e2) = f( (1, 2), (1, 2) ) = 9

La matriz en la base B' es:

|   1   -4 |

| -2     9 |

FORMAS CUADRATICAS

Una forma cuadrática es una aplicación de un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales donde:

q( u ) = f( u, u )   para todo u de V

Se llama forma polar de la forma cuadrática a una de las diferentes formas bilineales asociadas a una forma cuadrática que es simétrica y está definida por:

f( u, v ) = 1/2 · [ q( u + v ) - q( u ) - q( v ) ]

Las propiedades de las formas cuadráticas son:

q( a · u ) = f( a · u, a · u ) = a^2 · f( u, u ) = a^2 · q( u )

q( 0 ) = 0

q( u + v ) = f( u + v, u + v ) = q( u ) + q( v ) + f( u, v ) + f( u, v )

Una forma cuadrática se dice definida si:

q( u ) = 0   =>   u = 0

La expresión matricial de una forma cuadrática es:

q( u ) = f( u, u ) = X^t · A · X

La expresión del cambio de base de una forma cuadrática es:

q( u ) = X^t · A' · X   siendo   A' = P^t · A · P

La diagonalización de una forma cuadrática queda reducida a una suma de cuadrados:

q( u ) = a11 · x1^2 + a22 · x2^2 + ... + ann · xn^2

El rango de una forma cuadrática es el rango de su matriz asociada:

rg( q ) = rg( A )

Clasificación de las formas cuadráticas

La signatura de una forma cuadrática es el par (p, m) donde p es el número de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz asociada a q, y m los negativos. Verifica:

sg( q ) = p + m = rg( q )

Una forma cuadrática puede ser:

Definida positiva

q( u ) > 0   para todo u de V y u # 0

sg( q ) = (n, 0)   y   rg( q ) = n

Definida negativa

q( u ) < 0   para todo u de V y u # 0

sg( q ) = (0, n)   y   rg( q ) = n

Semidefinida positiva

q( u ) >= 0   para todo u de V, existe un u # 0 tal que q( u ) = 0

sg( q ) = (r, 0)   y   rg( q ) = r < n

Semidefinida negativa

q( u ) <= 0   para todo u de V, existe un u # 0 tal que q( u ) = 0

sg( q ) = (0, r)   y   rg( q ) = r < n

Indefinida

Existen u1 y u2 tal que q( u1 ) > 0 y q( u2 ) < 0

sg( q ) = (n, n)   y   rg( q ) = n

Diagonalizar una forma cuadrática

Diagonalizar la forma cuadrática siguiente:

q(x, y, z) = 3x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 2xy + 2xz - 2yz

La matriz asociada de la forma cuadrática es:

|  3   -1    1 |

| -1    5   -1 |

|  1   -1    3 |

Los autovalores de la matriz asociada son:

                     | 3-a     -1      1 |

| A - a · I | = |   -1   5-a     -1 | = 0

                     |    1     -1   3-a |

a1 = 2   ||   a2 = 3   ||   a3 = 6

La matriz diagonal es:

| 2   0   0 |

| 0   3   0 |

| 0   0   6 |

Y la expresión reducida de la forma cuadrática es:

q(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 + 6z^2